印度數學天才拉馬努金，極為巧妙地解決了一個無限嵌套的數學問題
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發布 : 03-27
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1911年，印度數學天才斯里尼瓦薩-拉馬努金（ Srinivasa Ramanujan）在《印度數學會雜志》上提出了上述問題（如圖）。幾個月之后，他提供了一個解決方案。 在這篇文章中，我們將討論拉馬努金的解決方案，同時探索一個基于微積分的方法來解決這個問題。所以，讓我們直接深入探討吧。聲明但首先，讓我們明確說明幾件重要的事情。我們將在上面給出的數列收斂的假設下開始。嚴格地說，我們應該先證明這個數列的收斂性，然后再求它的極限。然而，為了簡單起見，我們認為數列的收斂是理所當然的，只關注于求極限。下面介紹的解并不是拉馬努金在雜志上提供的精確解。相反，它是一個簡化版本，目的是為了抓住拉馬努金解的要點。拉馬努強的解請注意，對于任何非負實數x，我們有：現在，(x+2)又可以寫成((x+1)+1)，從而得到：繼續這個過程，把(x+3)寫成((x+2)+1)，我們得到：這個規律現在已經很明顯了。如果我們無限地進行這個過程，我們會得到：現在神奇的事情來了。 插入x=2，我們得到：就這樣，我們得到了答案， 原來只是3！就這樣簡單而明了，的確如此。我們很難不對這個解決方案的天才之舉感到驚訝，誰會想到把一個數字表示為它的平方根會得到這樣一個美麗的等式呢？此外，上述問題是更廣泛的一類問題的一個極好的例子，其中所提出的問題是具有更一般性質的特殊情況。在這種情況下，我們首先找到一般的恒等式，然后代入合適的值來得到期望的結果。例如：所以，這就是拉馬努金對這個問題的思路。接下來，我們繼續探索基于微積分的方法來解決這個問題?；谖⒎e分的解決方案聲明：我們假設存在一個可微的實值函數f，隱式定義為：同樣，我們在這里放棄了一些數學上的嚴謹性，假設這樣的函數存在，而沒有實際證明這一點。現在，我們的目標是，如果這樣的函數存在，我們能否利用它來解決我們的原始問題？請注意：繼續下去，我們得出了：現在可以清楚地看到，我們問題的解f(2)， 這是因為：當然，以上就是我們的函數定義的靈感來源。現在，讓我們試著找出f(2)的值。然后：現在，讓我們看看f(x)的導數告訴了我們什么。同樣，在[3]中設置x=0，我們得到：回到原來的方程：我們得到了 f(2)的值，也就是是3。結語補充一些歷史背景，拉馬努金在1911年發表了這個問題，當時他正試圖在國家數學界建立自己的地位。幾年后，他與G.H.哈迪取得聯系，搬到了劍橋，在接下來的五年里，他們兩人將形成有史以來最佳的數學伙伴關系之一。拉馬努金是一個不需要特別介紹的名字。他的生活和成就已經被徹底記錄下來了。這篇文章上提出的問題只是他最喜歡的領域之一。作為他的典型代表，拉瑪努強對數學的特定領域有著全身心的興趣，而對其他領域則完全漠不關心。當然，誰能比哈迪本人更了解這一點呢？我們以他的一句精彩的話來結束本文，這句話恰當地概括了拉馬努金：他的知識的局限性與它的深刻性一樣令人吃驚。這個人可以算出模方程和定理......達到聞所未聞的程度，他對續分數的掌握......超過了世界上任何一位數學家；但他卻從未聽說過雙周期函數或柯西定理，而且對復變函數的概念也模糊不清。
